求證：過圓內(nèi)接四邊形各邊的中點向對邊所作的4條垂線交于一點．
分析：此題首先過圓內(nèi)接四邊形兩邊的中點向對邊引垂線，產(chǎn)生交點，然后再進一步證明過另外兩邊的中點和交點的直線垂直于對邊即可．根據(jù)三角形的中位線定理、垂徑定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)即可證明．
解答：
證明：圓內(nèi)接四邊形ABCD，O為圓心，LR、EF為符合題意的線段，相交于K，連接LO、FO．
設M、G分別為AD、BC的中點，連接LM、MF、FG、GL，連接MK、KG、GO、OM．
∵L、F分別為AB、DC的中點，
∴LO⊥AB、OF⊥DC，
同時EF⊥AB，LR⊥DC，
∴LO∥EF，OF∥LR，
∴LOFK為平行四邊形，
∴LO=KF．
連接AC、BD．根據(jù)中位線定理和平行四邊形的判定，易證明四邊形LGFM為平行四邊形．
則LG=MF，
又LG∥MF，LO∥KF，
∴∠GLO=∠MFK，
∴△LGO≌△MFK，
∴OG=MK，
同理KG=OM．
故OGKM為平行四邊形．
∴MO∥KG，MK∥OG．
綜上，LR、EF、MQ、GP同為符合題意的線段．
所以過圓內(nèi)接四邊形各邊的中點向對邊所作的4條垂線交于一點．
點評：此題綜合考查了垂徑定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)．
練習冊系列答案
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，過C點作對角線BD的平行線交AD的延長線于E點．
求證：DE•AB=BC•CD．

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如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC平分∠BCD，BD交AC于點F，過點A作圓的切線AE交CB的延長線于E．求證：①AE∥BD；  ②AD2=DF•AE．

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我們學過圓內(nèi)接三角形，同樣，四個頂點在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，下面我們來研究它的性質(zhì)．
（I）如圖（1），連接AO、OC，則有∠B=
1
2
∠1，∠D=
1
2
∠2．∵∠1+∠2=360°∴∠B+∠D=
1
2
×360°=180°，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圓內(nèi)接四邊形對角（相對的兩個角）互補．
（II）在圖（2）中，∠ECD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，請你探究外角∠DCE與它的相鄰內(nèi)角的對角（簡稱內(nèi)對角）∠A的關系，并證明∠DCE與∠A的關系．
（III）應用：請你應用上述性質(zhì)解答下題：如圖（3）已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，F(xiàn)、E分別為BD、AD延長線上的點，如果DE平分
∠FDC，求證：AB=AC．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

求證：過圓內(nèi)接四邊形各邊的中點向對邊所作的4條垂線交于一點．

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