Question

如圖1，四邊形ABCD是矩形，P是BC邊上的一點(diǎn)，連接PA、PD
（1）求證：PA²+PC²=PB²+PD²
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在矩形ABCD的內(nèi)部時(shí)，連接PA、PB、PC、PD．上面的結(jié)論是否還成立？說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)A在矩形ABCD的外部時(shí)，連接PA、PB、PC、PD．上面的結(jié)論是否還成立？（不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)PA²-PB²=AB²=CD²=PD²-PC²，移項(xiàng)即可；
（2）過點(diǎn)P作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，可證四邊形ABFE和CDEF為矩形，則AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分別求PA²，PC²，PB²，PD²，再比較PA²+PC²與PB²+PD²即可；
（3）畫出圖形，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理分別求PA²，PC²，PB²，PD²．
解答：（1）證明：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA²-PB²=AB²，
同理可得PD²-PC²=CD²，
由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，
∴PA²-PB²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

（2）成立．
過點(diǎn)P作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
則四邊形ABFE和CDEF為矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
則AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

（3）成立．如圖，由勾股定理可證PA²+PC²=PB²+PD²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)．關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理分別表示邊長(zhǎng)的平方．