Question

把正整數(shù)染成紅色或藍(lán)色，每種顏色的數(shù)不少于兩個(gè)．是否存在這樣的染法，使得
（I）紅色數(shù)的積是紅色，藍(lán)色數(shù)的積是藍(lán)色？
（Ⅱ）紅色數(shù)的和是紅色，藍(lán)色數(shù)的和是藍(lán)色？
如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為滿足條件的染色方法；如果不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：染色問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（I）根據(jù)兩數(shù)之和以及兩數(shù)之積之間的關(guān)系分析得出即可．
（Ⅱ）首先假設(shè)紅色數(shù)的和是紅色，藍(lán)色數(shù)的和是藍(lán)色，不妨假定1是紅色，另一個(gè)最小的紅色數(shù)是K，進(jìn)而利用當(dāng)K=2時(shí)，當(dāng)K＞2時(shí)分析得出即可．

解答：解：（I）存在，
當(dāng)把奇數(shù)染成紅色，偶數(shù)染成藍(lán)色時(shí)，滿足條件；
（Ⅱ）不存在，
假設(shè)紅色數(shù)的和是紅色，藍(lán)色數(shù)的和是藍(lán)色，不妨假定1是紅色，另一個(gè)最小的紅色數(shù)是K，
則所有不小于K（K≥2）的數(shù)都是紅色且所有正整數(shù)2，3，…，K-1，都是藍(lán)色，
這樣，當(dāng)K=2時(shí)，所有的正整數(shù)都是紅色，不合條件；
當(dāng)K＞2時(shí)，K-1是藍(lán)色，由題設(shè)還有一個(gè)不等式1的藍(lán)色數(shù)，它與K-1相加，得到一個(gè)大于K的
藍(lán)色數(shù)，與所有不小于K的數(shù)都是紅色矛盾．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了染色問(wèn)題，利用數(shù)字規(guī)律結(jié)合分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．