Question

16．若函數(shù)y=mx²-2x+1與x軸正半軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤0或m=1．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x+1，直線y=-2x+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若△=（-2）²-4m=0，解得m=1，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），若m＜0，可判斷拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則可判斷拋物線與x軸正半軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

解答 解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)化為y=-2x+1，當(dāng)y=0時(shí)，-2x+1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，則直線y=-2x+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）；
當(dāng)m≠0時(shí)，若△=（-2）²-4m=0，解得m=1，此時(shí)拋物線解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
若m＜0，△=（-2）²-4m＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{-2}{2m}$=$\frac{1}{m}$＜0，所以拋物線與x軸正半軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，m的取值范圍為m≤0或m=1．
故答案為m≤0或m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了分類討論思想的運(yùn)用．