(2009•陜西)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OB⊥OA,且OB=2OA,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,2)
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式;
(3)連接AB,在(2)中的拋物線上求出點(diǎn)P,使得S△ABP=S△ABO

【答案】分析:(1)根據(jù)題意,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E;根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得BE、OE的值,進(jìn)而可得B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)先設(shè)拋物線為y=ax2+bx+c,將ABC的坐標(biāo)代入可得三元一次方程組,解即可得abc的值,即可得拋物線的解析式;
(3)根據(jù)題意設(shè)拋物線上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d,易得AB∥x軸;分析可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0,或4;分情況代入數(shù)據(jù)可得答案.
解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E,則AF=2,OF=1.
∵OA⊥OB,
∴∠AOF+∠BOE=90度.
又∵∠BOE+∠OBE=90°,
∴∠AOF=∠OBE,
∴Rt△AFO∽R(shí)t△OEB,

∴BE=2,OE=4,
∴B(4,2).(2分)

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(4,2),O(0,0)的拋物線為y=ax2+bx+c.

解之,得,
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=x2-x.(5分)

(3)由題意,知AB∥x軸.
設(shè)拋物線上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d,則S△ABP=AB•d=AB•AF=5.
∴d=2.
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0,或4.(7分)
令y=0,得y=x2-x=0.
解之,得x=0,或x=3.
∴符合條件的點(diǎn)P1(0,0),P2(3,0).
令y=4,得x2-x=4.
解之,得
∴符合條件的點(diǎn)
∴綜上,符合題意的點(diǎn)有四個(gè):
P1(0,0),P2(3,0),.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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