Question

19．已知函數(shù)的關(guān)系式是L₁：y=kx²+（k-2）x-2
（1）下列說法中正確的序號(hào)有②③：
①當(dāng)k=1時(shí)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
②當(dāng)k=2時(shí)，二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③無論k為何非零值，二次函數(shù)都經(jīng)過（-1，0）和（0，-2）；
（2）求證：無論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（3）已知二次函數(shù)L₁的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為P，若k＞0，且△ABP為等邊三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時(shí)，把y=x²-x-2配成頂點(diǎn)式即可對(duì)①解析判斷；當(dāng)k=2時(shí)，y=2x²-2，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則可對(duì)②解析判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)③解析判斷；
（2）分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，原函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x-2，則圖象一定與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，利用判別式的意義可判斷二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，所以無論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（3）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解方程kx²+（k-2）x-2=0可得A（$\frac{2}{k}$，0），B（-1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ $\frac{2-k}{2k}$，-$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$），當(dāng)k＞0時(shí)，AB=$\frac{2}{k}+1$，如圖1，作PE⊥x軸于E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，即 $\frac{（k+2）^{2}}{4k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（\frac{2}{k}+1）$，解得k₁=-2（舍去），k₂=2$\sqrt{3}$-2，所以k的值為2$\sqrt{3}$-2．

解答 （1）解：當(dāng)k=1時(shí)，y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)k=2時(shí)，y=2x²-2，則拋物線的對(duì)稱軸為y軸，所以②正確；
當(dāng)x=-1時(shí)，y=kx²+（k-2）x-2=k-k+2-2=0；當(dāng)x=0時(shí)，y=kx²+（k-2）x-2=-2，所以無論k為何非零值，二次函數(shù)都經(jīng)過（-1，0）和（0，-2），所以③正確；
故答案為：②③；
（2）證明：當(dāng)k=0時(shí)，一次函數(shù)y=-2x-2與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=（k-2）²-4k•（-2）=（k+2）²≥0，此二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，
所以無論k為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（3）解：當(dāng)y=0時(shí)，kx²+（k-2）x-2=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{2}{k}$，
設(shè)A（$\frac{2}{k}$，0），B（-1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2-k}{2k}$，-$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$），
AB=$\frac{2}{k}$+1，如圖1，作PE⊥x軸于E．

∵△ABP為等邊三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，即 $\frac{（k+2）^{2}}{4k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（\frac{2}{k}+1）$，
解得k₁=-2（舍去），k₂=2$\sqrt{3}$-2，
∴k的值為2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵．