Question

14．如圖，拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+4x-6$與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線對稱軸與x軸相交于點M，
（1）求△ABC的面積；
（2）若p是x軸上方的拋物線上的一個動點，求點P到直線BC的距離的最大值；
（3）若點P在拋物線上運動（點P異于點A），當∠PCB=∠BCA時，求直線PC的解析式．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可得點C坐標，令y=0，可得點A、B坐標，再結合三角形面積公式，即可得出結論；
（2）找與直線BC平行且過動點P的直線，令此直線與拋物線相切，看切點P是否在x軸上方，如果在，則切點P到直線BC的距離就是所求最大距離，若不在，只需考慮端點A、B到直線BC的距離即可；
（3）過點A作AE⊥BC與點E，并延長AE交直線CP與點D，巧妙利用等腰三角形的三線合一，找出AD、CD的長度，根據(jù)兩點間的距離公式即可得出結論，不過此處要注意到會產(chǎn)生增根．

解答 解：（1）令y=0，則有-$\frac{1}{2}$x²+4x-6=-$\frac{1}{2}$（x-2）（x-6）=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
即點A（2，0），點B（6，0）．
令x=0，則y=-6，
即點C（0，6）．
∴AB=4，CO=6．
△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CO=$\frac{1}{2}$×4×6=12．
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵點B（6，0），點C（0，-6），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{-6=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-6．
設經(jīng)過動點P且平行于直線BC的直線解析式為y₁=x+a．
將y₁=x+a代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6中得：$\frac{1}{2}$x²-3x+6+a=0，
若直線y₁=x+a與拋物線相切，則有：
△=（-3）²-4×$\frac{1}{2}$×（6+a）=0，即3+2a=0，
解得：a=-$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{1}{2}{x}^{2}$-3x+6-$\frac{3}{2}$=0，即x²-6x+9=0，
解得：x=3，
將x=3代入y₁=x-$\frac{3}{2}$，得y₁=$\frac{3}{2}$，
∴此時P點坐標為（3，$\frac{3}{2}$）在x軸上方．
∵直線BC的解析式為x-y-6=0，
∴點P到直線BC的距離=$\frac{|3-\frac{3}{2}-6|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
故點P到直線BC的距離的最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（3）過點A作AE⊥BC與點E，并延長AE交直線CP與點D，如圖所示．

∵點A（2，0），點B（6，0），點O（0，0），點C（0，-6），
∴AB=4，OA=2，OC=6，OB=6．
由勾股定理可知：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=2$\sqrt{2}$．
∵∠PCB=∠ACB，且BC⊥AD，
∴CD=CA=2$\sqrt{10}$，DE=AE=2$\sqrt{2}$（等腰三角形三線合一），
∴AD=AE+DE=4$\sqrt{2}$．
設點D坐標為（m，n），
則由兩點間的距離公式可知，
$\left\{\begin{array}{l}{（m-0）^{2}+[n-（-6）]^{2}=（2\sqrt{10}）^{2}}\\{（m-2）^{2}+（n-0）^{2}=（4\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{18}{5}}\\{n=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=-4}\end{array}\right.$．
即此時點D的坐標為（6，-4）．
設直線CP的解析式為y=k₁x-6，將D點坐標代入得：
-4=6k₁-6，解得：k₁=$\frac{1}{3}$．
∴若點P在拋物線上運動（點P異于點A），當∠PCB=∠BCA時，直線PC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-6．

點評 本題考查了三角形的面積公式、兩點間的距離公式、等腰三角形的性質(zhì)以及點到直線的距離，解題的關鍵是：（1）牢記三角形面積公式；（2）利用相切法求極值；（3）利用三線合一找到直線CP上除C點外的另一點的坐標．本題屬于中檔題型，（1）、（2）難度不大，（3）有點難度，由于初中生沒有學習過夾角公式，所以只能借助特殊三角形或者三角形全等來解決該類問題．