Question

如圖，已知△ABC外接⊙O，AB是⊙O的直徑，AC=6cm，BC=8cm，且∠EAC=∠ADC．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：AE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理證得△ABC是直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得直徑AB的長度，繼而求得該圓的半徑的長度；
（2）欲證AE是⊙O的切線，直需證得AE⊥AB即可．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
又∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm（勾股定理），
∴⊙O的半徑=

1

2

AB=5cm；

（2）證明：由（1）知，∠ACB=90°，則∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
∵∠ADC=∠ABC（同弧所對的圓周角相等），∠EAC=∠ADC（已知），
∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°（等量代換），即AB⊥AE；
∵點A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切線．

點評：本題考查了圓周角定理、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．