Question

（2001•江西）如圖，矩形OABC的兩邊OC、OA分別是x軸和y軸上，過(guò)點(diǎn)B的直線切以O(shè)C為直徑的半圓O′于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，連接OE，且已知C（-6，0），F(xiàn)（0，2）．
（1）求EF的長(zhǎng)；
（2）求經(jīng)過(guò)B、F兩點(diǎn)的直線的解析式；
（3）求tan∠EOF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知FO是圓的切線，則由切線長(zhǎng)定理知，EF=OF=2；
（2）由題意設(shè)出直線BF的解析式，由O點(diǎn)到直線距離為3，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)E（a，2-），由勾股定理求得a的值，進(jìn)而得到直線BF的解析式；
（3）作EM垂直于y軸于點(diǎn)M，由正切的概念求得tan∠EOF的值．
解答：解：（1）由題意知，AO⊥CO，CO是半圓的直徑，
∴FO是半圓的切線，
∵AB是切線，點(diǎn)E是切點(diǎn)，
∴EF=OF=2；

（2）已知C（-6，0），設(shè)點(diǎn)B（-6，b），F(xiàn)（0，2），
∴BF直線解析式為：y=，
∵OE⊥BF，
∴O點(diǎn)到直線距離為3，
又∵O′（-3，0），
∴3=，
∴b=，
∴B（-6，），
設(shè)E（a，2-），
又∵|OE|=3，
∴，
∴a=，
∴E（，），
∴BF直線解析式為：y=把b=代入，得：
y=；

（3）由圖形幾何關(guān)系，作EM垂直于y軸于點(diǎn)M，
∴tan∠EOF===．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一次函數(shù)的基本性質(zhì)及圓的性質(zhì)，直線與圓相切的問(wèn)題，巧妙設(shè)點(diǎn)從而減少未知量，還考查了學(xué)生的計(jì)算能力．