Question

為進(jìn)一步落實(shí)《中華人民共和國民辦教育促進(jìn)法》，某市教育局拿出了b元資金建立民辦教育發(fā)展基金會(huì)，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給了n所民辦學(xué)校．獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將n所民辦學(xué)校按去年完成教育、教學(xué)工作業(yè)績（假設(shè)工作業(yè)績均不相同）從高到低，由1到n排序，第1所民辦學(xué)校得獎(jiǎng)金

b

n

元，然后再將余額除以n發(fā)給第2所民辦學(xué)校，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給了n所民辦學(xué)校．
（1）請用n、b分別表示第2所、第3所民辦學(xué)校得到的獎(jiǎng)金；
（2）設(shè)第k所民辦學(xué)校所得到的獎(jiǎng)金為a_k元（1≤k≤n），試用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（3）比較a_k和a_k+1的大小（k=1，2，…，n-1），并解釋此結(jié)果關(guān)于獎(jiǎng)金分配原則的實(shí)際意義．

Answer 1

分析：（1）第2所民辦學(xué)校得到的獎(jiǎng)金為：（總資金-第一所學(xué)校得到的獎(jiǎng)金）÷n；
第3所民辦學(xué)校得到的獎(jiǎng)金為：（總資金-第一所學(xué)校得到的獎(jiǎng)金-第2所民辦學(xué)校得到的獎(jiǎng)金）÷n；
（2）由（1）得k所民辦學(xué)校所得到的獎(jiǎng)金為a_k=總資金÷n×（1-

1

n

）ⁿ；
（3）用a_k表示出a_k+1進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）因?yàn)榈?所學(xué)校得獎(jiǎng)金a₁=

b

n

，所以第2所學(xué)校得獎(jiǎng)金a₂=

1

n

（b-

b

n

）=

b

n

（1-

1

n

）
所以第3所學(xué)校得獎(jiǎng)金a₃=

1

n

[b-

b

n

-

b

n

(1-

1

n

)]=

b

n

[1-

1

n

-

1

n

(1-

1

n

)]=

b

n

(1-

1

n

)2

（2）由上可歸納得到a_k=

b

n

(1-

1

n

)k-1

（3）因?yàn)閍_k=

b

n

(1-

1

n

)k-1，a_k+1=

b

n

(1-

1

n

)k，所以a_k+1=（1-

1

n

）a_k＜a_k
結(jié)果說明完成業(yè)績好的學(xué)校，獲得的獎(jiǎng)金就多．

點(diǎn)評：這是一道滲透新課程理念的好題．它以獎(jiǎng)金發(fā)放為背景，以列代數(shù)式、因式分解、代數(shù)式的大小比較等相關(guān)知識(shí)為載體，考查了學(xué)生數(shù)感、符號(hào)感、數(shù)學(xué)建模能力、觀察分析、歸納推理等能力．本題得分率較低，究其原因主要有：一是部分學(xué)生不能將文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，二是部分學(xué)生不能在代數(shù)式的整理變形過程中總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律．解決本題的關(guān)鍵一是充分理解題意，二要表示第k所民辦學(xué)校所得到的獎(jiǎng)金，就要在第2所、第3所民辦學(xué)校得到的獎(jiǎng)金（代數(shù)式）上發(fā)現(xiàn)規(guī)律，三要提高對代數(shù)式變形的技能．