Question

已知∠AOB=30°，M為OB上一點(diǎn)，且OM=5cm，以M為圓心，r為半徑畫圓．若C是OA上一點(diǎn)，OC等于5cm，討論OC與⊙M的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并寫出r相應(yīng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：作MN⊥OA于N，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到MN=

1

2

OM=

5

2

，然后根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到當(dāng)r=

5

2

時(shí)，⊙M與射線OC相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0＜r＜

5

2

時(shí)，⊙M與射線OC相離，沒有公共點(diǎn)；當(dāng)

5

2

＜r≤5時(shí)，⊙M與射線OC有兩個(gè)公共點(diǎn)，而當(dāng)r＞5時(shí)，⊙M與射線OC只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答：解：作MN⊥OA于N，如圖，
∵∠AOB=30°，
∴MN=

1

2

OM=

1

2

×5=

5

2

，
∴當(dāng)r=

5

2

時(shí)，⊙M與射線OC只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)0＜r＜

5

2

時(shí)，⊙M與射線OC沒有公共點(diǎn)；
當(dāng)

5

2

＜r≤5時(shí)，⊙M與射線OC有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)r＞5時(shí)，⊙M與射線OC只有一個(gè)公共點(diǎn)．
所以當(dāng)0＜r＜

5

2

時(shí)，⊙M與射線OC沒有公共點(diǎn)；當(dāng)r=

5

2

或r＞5時(shí)，⊙M與射線OC只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)

5

2

＜r≤5時(shí)，⊙M與射線OC有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．