Question

（2012•普陀區(qū)一模）把兩塊邊長為4的等邊三角板ABC和DEF先如圖1放置，使三角板DEF的頂點(diǎn)D與三角板ABC的AC邊的中點(diǎn)重合，DF經(jīng)過點(diǎn)B，射線DE與射線AB相交于點(diǎn)M，接著把三角形板ABC固定不動，將三角形板DEF由圖11-1所示的位置繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)N（如圖2示）．
（1）當(dāng)0°＜α＜60°時，求AM•CN的值；
（2）當(dāng)0°＜α＜60°時，設(shè)AM=x，兩塊三角形板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式并求定義域；
（3）當(dāng)BM=2時，求兩塊三角形板重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠EDF=60°，則∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AMD∽△CDN，有相似的性質(zhì)得到AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，然后把DC=AD=2代入計(jì)算即可；
（2）分別過D點(diǎn)作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，連DB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AP=CQ=1，DP=DQ=

3

，由AM=x，得CN=

4

x

，MB=4-x，BN=4-

4

x

，兩塊三角形板重疊部分為四邊形DMBN，則y=S_△DBM+S_△DBN，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可，易得到當(dāng)0°＜α＜60°時，x的取值范圍為1＜x＜4；
（3）當(dāng)M在線段AB上，BM=2時，x=4-2=2，把x=2代入（2）的關(guān)系式中計(jì)算即可．當(dāng)M點(diǎn)在線段AB的延長線上，過D作DH∥BC交AB于H，BP=

1

2

DH=1，由△AMD∽△CDN，則AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，可計(jì)算出CN，然后根據(jù)三角形的面積公式可計(jì)算出S_△DPN，即兩塊三角形板重疊部分的面積．

解答：解：（1）∵△ABC和△DEF都是邊長為4的等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠EDF=60°，
∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，
∴∠AMD=∠NDC，
∴△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
而D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴DC=AD=2，
∴AM•CN=4；
（2）分別過D點(diǎn)作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，連DB，如圖
∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，
∴AP=CQ=1，
∴DP=DQ=

3

，
AM=x，則CN=

4

x

，MB=4-x，BN=4-

4

x

，
∵BD為等邊三角形的高，
∴點(diǎn)D到EF的距離為DB，
∴兩塊三角形板重疊部分為四邊形DMBN，
∴y=S_△DBM+S_△DBN=

1

2

•

3

•（4-x）+

1

2

•

3

•（4-

4

x

）
=4

3

-

3

2

x-

2 3

x

，
在圖（1）中，AM=1，
∴當(dāng)0°＜α＜60°時，x的取值范圍為1＜x＜4；
（3）當(dāng)M在線段AB上，BM=2時，x=4-2=2，
即y=4

3

-

3

2

×2-

2 3

2

=2

3

．
當(dāng)M點(diǎn)在線段AB的延長線上，如圖（備用圖），
過D作DH∥BC交AB于H，
∴DH=

1

2

BC=2，BH=2，
∵BM=2，
∴BP=

1

2

DH=1，
與①一樣可證得△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
∴6×CN=4，即CN=

2

3

，
∴PN=4-1-

2

3

=

7

3

，
∴S_△DPN=

1

2

PN•DQ=

1

2

×

7

3

×

3

=

7 3

6

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的面積公式．