Question

16．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為4，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、BD、CD．
（1）求此拋物線的解析式、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)以及四邊形ABDC的面積；
（2）如圖②現(xiàn)將正方形OABC截去一角成五邊形OAEFC，且BE=1，BF=2，試在線段EF上求一點(diǎn)P，使矩形PMON有最大面積；
（3）如圖③G為OA中點(diǎn)，設(shè)K為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接GK．一動點(diǎn)Q從G出發(fā)，沿線段GK以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到K，再沿線段KC以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位的速度運(yùn)動到C后停止．當(dāng)點(diǎn)K的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少？最少時(shí)間是幾秒？

Answer 1

分析 （1）由正方形OABC的邊長為4可得出點(diǎn)C、點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中得到關(guān)于b、c的二元一次方程，解方程即可得出b、c的值，從而得出拋物線的解析式，將拋物線解析式配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，將四邊形ABDC分成兩個(gè)三角形，由三角形的面積公式即可得出四邊形ABDC的面積；
（2）根據(jù)截法找出直線EF的解析式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），由矩形面積=長×寬可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式在x的取值范圍內(nèi)的單調(diào)性即可解決最值問題；
（3）過K作KT⊥CB于點(diǎn)T，可找出KC=$\sqrt{2}$KT，由時(shí)間=路程÷速度找出時(shí)間t=GK+KT，由GK+KT≥4即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B與C坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{4=c}\\{4=-8+4b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
故此拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）．
S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4×2=8+4=12．
（2）∵在正方形上截去一角，成為五邊形，
∴存在線段EF且EF的位置已經(jīng)固定，且E（4，3），F(xiàn)（2，4），
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5．
設(shè)P（x，y）（2≤x≤4），則PM=y=-$\frac{1}{2}$x+5，PN=x，
∴S=PM•PN=xy=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+5x（2≤x≤4），
∵S=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+5x=-$\frac{1}{2}（x-5）^{2}$+$\frac{25}{2}$，
∴當(dāng)2≤x≤4時(shí)，S隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=4時(shí)，矩形PMON面積最大為12，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，3）．
（3）過K作KT⊥CB于點(diǎn)T，如圖所示．

∵∠ACB=45°，
∴KC=$\sqrt{2}$KT．
運(yùn)動時(shí)間t=$\frac{GK}{1}+\frac{KC}{\sqrt{2}}$=$\frac{GK}{1}+\frac{\sqrt{2}KT}{\sqrt{2}}$=GK+KT≥4，
∴當(dāng)KG⊥OA時(shí)，最短時(shí)間為4秒，此時(shí)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）尋找在x的取值范圍內(nèi)面積S的最值；（3）找出時(shí)間t=GK+KT．本題屬于中檔題，難度不大，（1）沒有難度；（2）巧妙的利用P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)表示矩形的面積；（3）通過作圖，利用數(shù)形結(jié)合化復(fù)雜為簡潔．