Question

如圖：D是以AB為直徑的圓O上任意一點，且不與點A、B重合，點C是弧BD的中點，作CE∥AB，交AD或其延長線于E，連接BE交AC與G，AE=CE，過C作CM⊥AD交AD延長線于點M，MC與⊙O相切，CE=7，CD=6，求EG的長．

Answer 1

考點：正弦定理與余弦定理,勾股定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：連接OC，易證四邊形AOCE是平行四邊形，則有OA=CE=7，由點C是弧BD的中點可得BC=CD=6，運用勾股定理求出AC．由CE∥AB可得△CGE∽△AGB，運用相似三角形的性質(zhì)可求出AG的長．在Rt△ACB中根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出cos∠BAC，由點C是弧BD的中點可得∠BAC=∠EAG，從而可得到cos∠EAG的值，然后在△EAG中運用余弦定理就可求出EG的長．

解答：解：連接OC，如圖．
∵MC與⊙O相切，
∴OC⊥MC．
∵CM⊥AD，
∴OC∥AM．
∵CE∥AB，
∴四邊形AOCE是平行四邊形，
∴OA=CE=7，
∴AB=14．
∵點C是弧BD的中點，
∴BC=CD=6．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

142-62

=4

10

．
∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，
∴

CG

AG

=

CE

AB

=

7

14

=

1

2

，
∴AG=

2

3

AC=

8 10

3

．
在Rt△ACB中，
cos∠BAC=

AC

AB

=

4 10

14

=

2 10

7

．
∵點C是弧BD的中點，
∴∠BAC=∠CAD，即∠BAC=∠EAG，
∴cos∠EAG=

2 10

7

．
在△EAG中，
cos∠EAG=

AG2+AE2-GE2

2AG•AE

．
∴

AG2+AE2-GE2

2AG•AE

=

2 10

7

．
∵AG=

8 10

3

，AE=CE=7，
∴

640 9 +49-GE2

2× 8 10 3 ×7

=

2 10

7

．
整理得：GE²=

121

9

．
∵GE＞0，∴GE=

11

3

．
∴EG的長為

11

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、余弦定理等知識，綜合性比較強，在△EAG中運用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．