Question

17．如圖，AB是⊙O上的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上的一點，且滿足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3，給出下列結論：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；④S_△ADE=7$\sqrt{5}$．其中正確的是①②④（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 ①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據垂徑定理可得：$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面積．

解答 解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正確；
②∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴GF=CG-CF=2；故②正確；
③∵AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；故③錯誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，
∵△ADF∽△AED，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△AED}}$=（$\frac{AF}{AD}$）²，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{{S}_{△ADE}}$=（$\frac{3}{\sqrt{21}}$）²，
∴S_△AED=7$\sqrt{5}$，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．注意證得△ADF∽△AED是解此題的關鍵．