Question

當(dāng)x為何有理數(shù)時(shí)，代數(shù)式9x²+23x-2的值恰為兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的乘積？

Answer 1

解：設(shè)兩個(gè)偶數(shù)為2n，2n+2（n＞0），則9x²+23x-2=2n（2n+2），
即9x²+23x-2-2n（2n+2）=0．
x為有理數(shù)，則方程的△為完全平方數(shù)，
△=23²+4×9×[2+2n（2n+2））]=36（4n²+4n+1）+565=[6（2n+1）]²+565，
設(shè)△=m²（不妨設(shè)m≥0），
m²-[6（2n+1）]²=（m+12n+6）（m-12n-6）=565=565×1=113×5，
當(dāng)m+12n+6=565時(shí)，m-12n-6=1解得m=283，n=23；
當(dāng)m+12n+6=113時(shí)，有m-12n-6=5解得m=59，n=4；
當(dāng)n=23時(shí)，9x²+23x-2=46×48，x=-17或x=；
當(dāng)n=4時(shí)，9x²+23x-2=8×10，x=2或x=-．
分析：設(shè)兩個(gè)偶數(shù)為2n，2n+2（n＞0），則有9x²+23x-2=2n（2n+2），x為有理數(shù)，則方程的9x²+23x-2=2n（2n+2）的根的判別式△為完全平方數(shù)，設(shè)△=m²然后求得對(duì)應(yīng)的m、n的值，再求得對(duì)應(yīng)的x的值．
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)設(shè)適當(dāng)?shù)膮��?shù)，建立方程，利用方程的△為完全平方數(shù)討論求解．