Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，求m的值；
（3）已知一次函數(shù)y=-2x+b，點(diǎn)P（n，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象于N．若只有當(dāng)-2＜n＜2時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，求該一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，則求得兩根，又由點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)且m＞0，所以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，即求得點(diǎn)C，由∠ABC=45°，從而求得m的值；
（3）由x=2和-2代入二次函數(shù)式y(tǒng)=mx²+（m-3）x-3（m＞0）中，并能求得交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2m+3）和（2，6m-9），則代入一次函數(shù)式即可求得m、b的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、B是二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴令y=0，即mx²+（m-3）x-3=0，
整理，得：
（x+1）（mx-3）=0
解得x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)且m＞0
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）；

（2）如圖1，由（1）可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{3}{m}$，0），
∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∵∠ABC=45°，
∴OB=$\frac{3}{m}$，
∴m=1；

（3）如圖2，∵只有當(dāng)-2＜n＜2時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，
∴當(dāng)-2＜n＜2時(shí)，y_N＜y_M，
即一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-2和2，
把x=-2代入代入y=mx²+（m-3）x-3得y=2m+3，
∴交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，2m+3），
把x=2代入y=mx²+（m-3）x-3得y=6m-9，
∴交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，6m-9），
∵E、F是直線y=-2x+b上的點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+3=4+b}\\{6m-9=-4+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴該一次函數(shù)的解析式為y=-2x+1，二次函數(shù)的解析式為y═x²-2x-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，第一問(wèn)是常見(jiàn)的問(wèn)題，令y=0可以解決，第二問(wèn)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得，第三問(wèn)的關(guān)鍵是確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，難度較大．