Question

如圖，在△ABC中，D是BC是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線GF交AC于點(diǎn)F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，DE⊥DF交AB于點(diǎn)E，連接EG、EF．
（1）求證：BG=CF；
（2）求證：EG=EF；
（3）請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根據(jù)ASA證出△CFD≌△BGD即可．
（2）根據(jù)全等得出GD=DF，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．
（3）根據(jù)全等得出BG=CF，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出即可．

解答：（1）證明：∵BG∥AC，
∴∠C=∠GBD，
∵D是BC是中點(diǎn)，
∴BD=DC，
在△CFD和△BGD中

∠C=∠GBD CD=BD ∠CDF=∠BDG

∴△CFD≌△BGD，
∴BG=CF．

（2）證明：∵△CFD≌△BGD，
∴DG=DF，
∵DE⊥GF，
∴EG=EF．

（3）BE+CF＞EF，
證明：∵△CFD≌△BGD，
∴CF=BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵EF=EG，
∴BG+CF＞EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．