Question

如圖，已知△ABC的周長為a，連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個三角形，再順次連接第二個三角形各邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個三角形，依此類推．
（1）求第3個三角形的周長；
（2）求第n個三角形的周長；
（3）求第2008個三角形的周長與第2007個三角形周長的比．

Answer 1

解：（1）由△ABC的周長為a，
連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個三角形為A₁B₁C₁，
它的周長是△ABC的周長的，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得=，
則第三個三角形的周長是由A₁B₁C₁的，
即為△ABC的周長，
所以第3個三角形的周長為a；

（2）由（1）知．則第三個三角形它的周長是△ABC的周長的，
依此類推，第n個三角形的周長為；

（3）第2008個三角形的周長為=，
第2007個三角形周長的為=，
則二者之比為．
答：（1）第3個三角形的周長為a；
（2）第n個三角形的周長為；
（3）第2008個三角形的周長與第2007個三角形周長的比為．
分析：（1）連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個三角形為A₁B₁C₁，利用它的周長是△ABC的周長的，求證△A₁B₁C₁∽△ABC，
利用相似三角形周長比等于相似比推出=，然后得出則第三個三角形的周長．
（2）由（1）方法依此類推，同理可推出第n個三角形的周長．
（3）將n=2008和n=2007分別代入，然后相比即可得出答案．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理的理解和掌握，此題關(guān)鍵是利用三角形中位線定理先求出第2個三角形與原三角形的相似比，然后求得第3個三角形與原三角形周長之比，依此類推，即可推出第n個三角形的周長為．
這是此題的突破點(diǎn)．推出此式，下面的問題迎刃而解了．