Question

如圖⊙O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為

2

cm，1cm，
（1）求圓心O到弦AB的距離；
（2）則弦AC、BD所夾的銳角α的度數(shù)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連結(jié)OA、OB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE=

1

2

AB，由OA=OB=1，AB=

2

，根據(jù)勾股定理的逆定理得△OAB為等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OE=

1

2

AB=

2

2

；
（2）連結(jié)OC、OD，先判斷△OCD為等邊三角形，得到∠COD=60°，根據(jù)圓周角定理得∠CAD=

1

2

∠COD=30°，由△OAB為等腰直角三角形得∠AOB=90°，
根據(jù)圓周角定理得∠ADB=

1

2

∠AOB=45°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠α的度數(shù)．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連結(jié)OA、OB，如圖，
∴AE=BE=

1

2

AB，
∵OA=OB=1，AB=

2

，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

AB=

2

2

；
（2）連結(jié)OC、OD，如圖，
∵OC=OD=1，CD=1，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠CAD=

1

2

∠COD=30°，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=45°，
∴∠α=∠CAD+∠ADB=30°+45°=75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)．