Question

在一次機(jī)器人測試中，要求機(jī)器人從A出發(fā)到達(dá)B處．如圖1，已知點(diǎn)A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機(jī)器人在射線AO及其右側(cè)（AO下方）區(qū)域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(cè)（AO上方）區(qū)域的速度為10cm/秒．
（1）分別求機(jī)器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間（精確到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求機(jī)器人沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間（精確到秒）；
（3）如圖2，作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P．試說明：從A出發(fā)到達(dá)B處，機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短．
（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知先求出沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，然后由勾股定理求出AB，從而求出沿A→B路線行進(jìn)所用時(shí)間；
（2）首先解Rt△OBC，運(yùn)用三角函數(shù)求出BC，繼而得出AC，從而求出沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間；
（3）在AO上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，作P′E′⊥AD于E′，連接P′B，分別求出沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間和沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間進(jìn)行比較得出結(jié)論．
解答：解：（1）沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：600÷20+300÷10=60（秒），（1分）
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300（cm）．（2分）
∴沿A→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：300÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）．（3分）

（2）在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC==300（cm）（4分）
∴AC=600-300=300（cm）．
∴沿A→C→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57（秒）．

（3）在AO上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，作P′E′⊥AD于E′，連接P′B，
在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°==，∴EP=，E′P′=．（7分）
∴沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10=BE（秒），
沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：
AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10=（E′P′+P′B）（秒）．（8分）
連接BE′，則E′P′+P′B＞BE′＞BE，∴BE＜（E′P′+P′B）．
∴沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，小于沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間．
即機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短．（9分）
點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求出路線長．