Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為P（－4，－），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）

（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，則在線段AC上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△ADQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

y=x2+4x-；存在點(diǎn)Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x+4）2-，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可得解；

（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而得到OA、OC、AD的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理列式求出AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)銳角三角形函數(shù)求出∠OAC的正弦值與余弦值，再分①AD=Q1D時(shí)，過(guò)Q1作Q1E1⊥x軸于點(diǎn)E1，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的長(zhǎng)度，根據(jù)∠OAC的余弦求出AE1的長(zhǎng)度，然后求出OE1，從而得到點(diǎn)Q1的坐標(biāo)；②AD=AQ2時(shí)，過(guò)Q2作Q2E2⊥x軸于點(diǎn)E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的長(zhǎng)度，根據(jù)∠OAC的余弦求出AE2的長(zhǎng)度，然后求出OE2，從而得到點(diǎn)Q2的坐標(biāo)；③AQ3=DQ3時(shí)，過(guò)Q3作Q3E3⊥x軸于點(diǎn)E3，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AE3的長(zhǎng)度，然后求出OE3，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出Q3E3的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)Q3的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）2-

∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（1，0），

∴a（1+4）2-=0，

解得a=，

所以，拋物線解析式為y=（x+4）2-，

即y=x2+4x-；

（2）存在點(diǎn)Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．

理由如下：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），

令x=0，則y=-，

令y=0，則x2+4x-=0，

整理得，x2+8x-9=0，

解得x1=1，x2=-9，

∴點(diǎn)A（-9，0），C（0，-），

∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，

在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理，AC=

∴sin∠OAC=

cos∠OAC=，

①AD=Q1D時(shí)，過(guò)Q1作Q1E1⊥x軸于點(diǎn)E1，

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×，

Q1E1=AQ1•sin∠OAC=×=4，

AE1=AQ1•cos∠OAC=×=8，

所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，

所以，點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（-1，-4）；

②AD=AQ2時(shí)，過(guò)Q2作Q2E2⊥x軸于點(diǎn)E2，

Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=，

AE2=AQ2•cos∠OAC=5×=2，

所以，OE2=OA-AE2=9-2，

所以，點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（2-9，-）；

③AQ3=DQ3時(shí)，過(guò)Q3作Q3E3⊥x軸于點(diǎn)E3，

則AE3=AD=×5=，

所以，OE3=9-=，

∵Q3E3⊥x軸，OC⊥OA，

∴△AQ3E3∽△ACO，

∴，

即，

解得Q3E3=，

所以，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（-，-），

綜上所述，在線段AC上存在點(diǎn)Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得△ADQ為等腰三角形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．