Question

已知：AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于D．
（1）求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）若AC=5，AD=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由DC為圓O的切線，連接OC，利用切線的性質(zhì)得到CD與OC垂直，再由AD與DC垂直，得到AD與OC平行，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；
（2）連接OC，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到三角形ABC為直角三角形，再由（1）中AC為角平分線得到一對(duì)角相等，可得出三角形ACD與三角形ABC相似，由相似得比例，求出AB的長(zhǎng)，即為圓的直徑．

解答：（1）證明：連接OC
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD                                     
又∵AD⊥CD∴OC∥AD
∴∠DAC=∠ACO
又∵OA=OC∴∠ACO=∠OAC
∴∠DAC=∠OAC
∴AC是∠DAB的平分線

（2）∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴在△ACD和△ABC中，∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB
∴△ADC∽△ACB
∴

AD

AC

=

AC

AB

  ，即 

4

5

=

5

AB

∴AB=

25

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．