Question

如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點(diǎn)，DE=

1

n

AD（n為大于2的整數(shù)），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)F，G，F(xiàn)G與BE的交點(diǎn)為O，連接BF和EG．
（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)AB=a（a為常數(shù)），n=3時(shí)，求FG的長(zhǎng)；
（3）記四邊形BFEG的面積為S₁，矩形ABCD的面積為S₂，當(dāng)

S1

S2

=

17

30

時(shí)，求n的值．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）先求證△EFO≌△BGO，可得EF=BG，再根據(jù)△BOF≌△EOF，可得EF=BF；即可證明四邊形BFEG為菱形；
（2）根據(jù)菱形面積不同的計(jì)算公式（底乘高和對(duì)角線乘積的一半兩種計(jì)算方式）可計(jì)算FG的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)菱形面積底乘高的計(jì)算方式可以求出BG長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理可求出AF的長(zhǎng)度，即可求出ED的長(zhǎng)度，即可計(jì)算n的值．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO=∠BGO，
∵FG為BE的垂直平分線，
∴BO=OE；
∵在△EFO和△BGO中，

∠EFO=∠BGO ∠FOE=∠GOB=90° BO=EO

，
∴△EFO≌△BGO，
∴EF=BG，
∵AD∥BC，
∴四邊形BGEF為平行四邊形；
∵在△BOF和△EOF中，

EO=BO ∠EOF=∠BOF=90° FO=FO

，
∴△BOF≌△EOF，
∴EF=BF，
∵鄰邊相等的平行四邊形為菱形，
∴四邊形BGEF為菱形．

（2）當(dāng)AB=a，n=3時(shí)，AD=2a，AE=

4

3

a，
  根據(jù)勾股定理可以計(jì)算BE=

5

3

a，
∵AF=AE-EF=AE-BF，在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，計(jì)算可得AF=

7

24

a，EF=

25

24

a，
∵菱形BGEF面積=

1

2

BE•FG=EF•AB，計(jì)算可得FG=

5

4

a．

（3）設(shè)AB=x，則DE=

2x

n

，
當(dāng)

S1

S2

=

17

30

時(shí)，

BG•AB

AB•AD

=

17

30

，可得BG=

17

15

x，
在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，計(jì)算可得AF=

8

15

x，
∴AE=AF+FE=AF+BG=

5

3

x，DE=AD-AE=

1

3

x，
∴

1

3

x=

2x

n

，
∴n=6．

點(diǎn)評(píng)：牢記菱形的底乘高和對(duì)角線求面積的計(jì)算公式，熟練運(yùn)用勾股定理才能解本題．