Question

15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當(dāng)兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：
（1）求點N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)x為何值時，△OMN是等腰三角形．（直接寫出x的值）

Answer 1

分析 （1）如圖1，作NH⊥OA垂足為H，由NH∥AB得$\frac{ON}{OB}=\frac{OH}{OA}=\frac{NH}{AB}$即可解決問題．
（2）①當(dāng)∠ONM=90°時，根據(jù)△ONM∽△OAB得$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{OB}$即可解決問題；當(dāng)∠OMN=90°時，由MN∥AB得$\frac{ON}{OB}=\frac{OM}{OA}$即可解決問題．
（3）①當(dāng)ON=NM時，如圖1，由OH=HM=$\frac{1}{2}$OM列出方程x=$\frac{1}{2}$（4-x）求解；②當(dāng)ON=OM時，得方程1.25x=4-x可以求解；③當(dāng)OM=MN時，如圖2，作MH⊥ON，由△OHM∽△OAB得到$\frac{OH}{OA}=\frac{OM}{OB}$列出方程求解．

解答 解：（1）如圖1，作NH⊥OA垂足為H．
在RT△ABC中，∵OA=4，AB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5
∵∠NHO=∠BAO=90°，
∴NH∥AB，
∴$\frac{ON}{OB}=\frac{OH}{OA}=\frac{NH}{AB}$，
∴$\frac{1.25x}{5}=\frac{OH}{4}=\frac{NH}{3}$，
∴OH=x，HN=$\frac{3}{4}$x，
∴的N坐標(biāo)（x，$\frac{3}{4}x$）．
（2）①當(dāng)∠ONM=90°時，
∵∠ONM=∠OAB，∠NOM=∠AOB，
∴△ONM∽△OAB，
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{1.25x}{4}=\frac{4-x}{5}$，
∴x=$\frac{64}{41}$．
②當(dāng)∠OMN=90°時，∵MN∥AB，
∴$\frac{ON}{OB}=\frac{OM}{OA}$，
∴$\frac{1.25x}{5}=\frac{4-x}{4}$，
∴x=2．
綜上所述：x=$\frac{64}{41}$秒或2秒時，△OMN是直角三角形
（3）①當(dāng)ON=NM時，如圖1，∵NH⊥OM，
∴OH=HM=$\frac{1}{2}$OM，
∴x=$\frac{1}{2}$（4-x），
∴x=$\frac{4}{3}$．
②當(dāng)ON=OM時，1.25x=4-x，解得：x=$\frac{16}{9}$．
③當(dāng)OM=MN時，如圖2，作MH⊥ON，則OH=HN，
∵∠MOH=∠BOA，∠MHO=∠OAB，
∴△OHM∽△OAB，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{\frac{5}{8}x}{4}=\frac{4-x}{5}$，
x=$\frac{128}{57}$．
綜上所述：x=$\frac{4}{3}$秒或$\frac{16}{9}$秒或$\frac{128}{57}$秒時，△OMN是等腰三角形．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，用方程去思考是解題的關(guān)鍵．