Question

已知三角形三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，其周長(zhǎng)和面積分別為p₁，S₁．將三邊都增加10后得到新的三角形周長(zhǎng)和面積分別為p₂，S₂．若p₁p₂=S₁S₂．求原三角形最小角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：設(shè)原三角形三邊的長(zhǎng)分別為：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺）．利用三角形的周長(zhǎng)公式得到三角形的周長(zhǎng)、由海倫公式得到三角形的面積．結(jié)合已知條件列出關(guān)于n的方程，通過解方程來求n的值；則易求原三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定原三角形是直角三角形．所以由銳角三角函數(shù)的定義來求最小角的正弦值即可．

解答：解：設(shè)原三角形三邊的長(zhǎng)分別為：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺）
p₁=3n，p₂=3n+30
s₁=

3n 2 •( 3n 2 -n+1)( 3n 2 -n)( 3n 2 -n-1)

（海倫公式）
=

n

4

3(n+2)(n-2)

s₂=

n+10

4

3(n+12)(n+8)

．
∵p₁p₂=S₁S₂．
∴3n•（3n+30）=

n

4

3(n+2)(n-2)

•

n+10

4

3(n+12)(n+8)

．
解得 n=4
∴原三角形三邊長(zhǎng)是3，4，5．
∵3²+4²=5²，
∴原三角形是直角三角形，
∴原三角形最小角的正弦值是

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的邊角關(guān)系．解題的關(guān)鍵是熟記海倫公式和三角形的周長(zhǎng)公式．