【題目】如圖,的直徑,且,點外一點,且,分別切于點、兩點.的延長線交于點

1)求證:;

2)填空

①當________時,四邊形是正方形.

②當_________時,為等邊三角形.

【答案】(1)證明見解析;(2)6,

【解析】

1)根據(jù)切線的性質(zhì)及切線長定理可得MAOA,MCOC,MCMA,然后根據(jù)等邊對等角及等角的余角相等求出∠DCM=∠D,證得DMMC即可得出結(jié)論;

2)①根據(jù)正方形的判定定理可知當CMOA6時,四邊形AOCM是正方形;

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠D60°,進而求出∠AOM30°,然后解直角三角形求出AM即可解決問題.

解:(1)如圖1,連接OM,

MA,MC分別切⊙O于點A、C,

MAOA,MCOC,MCMA,

∴∠DCM+OCB90°,∠D+B90°,

OCOB,

∴∠OCB=∠B

∴∠DCM=∠D,

DMMC,

DMMA;

2)①如圖2,當CM6時,四邊形AOCM是正方形;

AB12

OAOC6,

又∵CMAM6,即AOCOAMCM6,

∴四邊形AOCM是菱形,

又∵∠DAB90°,

∴四邊形AOCM是正方形;

②連接OM,如圖3

∵△DCM是等邊三角形,

∴∠D60°,

∵∠DAB90°,

∴∠B30°

∴∠AOC2B60°,

AB12,MAMC分別切⊙O于點A、C,

OA6,∠AOM30°

tanAOMtan30°,

AM,

CMAM

即當CM時,△CDM為等邊三角形.

練習冊系列答案
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