Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點A，B，與x軸分別交于點E，F(xiàn)，且點E的坐標為（﹣，0），以0C為直徑作半圓，圓心為D．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求證：直線BE是⊙D的切線；

（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MN∥BE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）根據(jù)題意易得點A、B的坐標，然后把點A、B、E的坐標分別代入二次函數(shù)解析式，列出關于a、b、c的方程組，利用三元一次方程組來求得系數(shù)的值；

（2）如圖，過點D作DG⊥BE于點G，構建相似三角形△EGD∽△ECB，根據(jù)它的對應邊成比例得到=，由此求得DG=1（圓的半徑是1），則易證得結論；

（3）利用待定系數(shù)法求得直線BE為：y=x+．則易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的對應邊成比例，線段間的和差關系得到CN=t，DN=t﹣1．所以

S=S_△PND+S_梯形PDCM﹣S_△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．由拋物線的性質(zhì)可以求得S的最值．

解答：

解：（1）由題意，得A（0，2），B（2，2），E的坐標為（﹣，0），

則，

解得，，

∴該二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x²+x+2；

（2）如圖，過點D作DG⊥BE于點G．

由題意，得

ED=+1=，EC=2+=，BC=2，

∴BE==．

∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，

∴△EGD∽△ECB，

∴=，

∴DG=1．

∵⊙D的半徑是1，且DG⊥BE，

∴BE是⊙D的切線；

（3）由題意，得

E（﹣，0），B（2，2）．

設直線BE為y=kx+h（k≠0）．則

，

解得，，

∴直線BE為：y=x+．

∵直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，對稱軸直線為x=1，

∴點P的縱坐標y=，即P（1，）．

∵MN∥BE，

∴∠MNC=∠BEC．

∵∠C=∠C=90°，

∴△MNC∽△BEC，

∴=，

∴=，則CN=t，

∴DN=t﹣1，

∴S_△PND=DN•PD=（t﹣1）•=t﹣．

S_△MNC=CN•CM=×t•t=t²．

S_梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t．

∵S=S_△PND+S_梯形PDCM﹣S_△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．

∵拋物線S=﹣+t（0＜t＜2）的開口方向向下，

∴S存在最大值．當t=1時，S_最大=．

點評：

本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法．注意配方法在（3）題中的應用．