Question

△ABC中，D是BC的中點(diǎn)．分別以AB，AC為一邊，向三角形內(nèi)部作Rt△ABE，Rt△ACF，使∠ABE=∠ACF，連接DE，DF，求證：DE=DF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：延長BE到M，使ME=BE，延長CF到N，使NF=CF，連接AM、MC，AN、NB，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=AB，AN=AC，然后求出∠CAM=∠BAN=∠EAF，利用“邊角邊”證明△ACM和△ANB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MC=BN，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE=

1

2

MC，DF=

1

2

BN，等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，延長BE到M，使ME=BE，延長CF到N，使NF=CF，連接AM、MC，AN、NB，
∵∠AFC=90°，∠AEB=90°，
∴AE、AF分別是BM、CN的垂直平分線，
∴AM=AB，AN=AC，
∵∠ABE=∠ACF，
∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF，
∴∠CAF=∠NAF=∠MAE=∠BAE，
∴∠CAM=∠BAN=∠EAF，
在△ACM和△ANB中，

AM=AB ∠CAM=∠BAN AN=AC

，
∴△ACM≌△ANB（SAS），
∴MC=BN，
∵D是BC的中點(diǎn)，ME=BE，NF=CF，
∴DE、DF分別是△BCM和△BCN的中位線，
∴DE=

1

2

MC，DF=

1

2

BN，
∴DE=DF．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造成全等三角形并且使DE、DF分別為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．