Question

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，∠EDF=45°，DE、DF分別交AC于點(diǎn)G、H．求證：EF=$\sqrt{2}$GH．

Answer 1

分析 連接BD，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，于是得到∠DBC=∠CAD=∠ADB=45°，即∠1+∠2=∠2+∠3=45°，求得∠1=∠3，∠DBF=∠DAC，推出△AGD∽△BFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DG}{DF}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，延長(zhǎng)BA到M，使CF=AM，得到△DFC≌△AMD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠4=∠5，DF=DM，推出△EDF≌△MDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠6=∠8=∠7，證得△DGH∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{GH}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，盡快得到結(jié)論．

解答 解：連接BD，
∵∠EDF=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠CAD=∠ADB=45°，
即∠1+∠2=∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，∠DBF=∠DAC，
∴△AGD∽△BFD，
∴$\frac{DG}{DF}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
延長(zhǎng)BA到M，使CF=AM，
在△DFC與△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=AM}\\{∠MAD=∠DCF=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AMD，
∴∠4=∠5，DF=DM，
∵∠EDF=45°，
∴∠1+∠4=45°，
∴∠1+∠5=45°，
在△EDF與△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DM}\\{∠EDF=∠MDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△MDE，
∴∠6=∠8=∠7，
∴∠8=∠9，
∴∠6=∠9，
∴△DGH∽△DEF，
∴$\frac{GH}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$GH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．