14.如圖,AB是⊙O的直徑,點F、C在⊙O上且$\widehat{BC}=\widehat{CF}$,連接AC、AF,過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若$\widehat{AF}=\widehat{FC}$,CD=4,求⊙O的半徑.

分析 (1)連結(jié)OC,由F,C,B三等分半圓,根據(jù)圓周角定理得∠FAC=∠BAC,而∠OAC=∠OCA,則∠FAC=∠OCA,可判斷OC∥AF,由于CD⊥AF,所以O(shè)C⊥CD,然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線;
(2)連結(jié)BC,由AB為直徑得∠ACB=90°,由F,C,B三等分半圓得∠BOC=60°,則∠BAC=30°,所以∠DAC=30°,在Rt△ADC中,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=2CD=8,在Rt△ACB中,根據(jù)勾股定理求得AB,進而求得⊙O的半徑.

解答 (1)證明:連結(jié)OC,如圖,
∵$\widehat{BC}=\widehat{CF}$,
∴∠FAC=∠BAC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠FAC=∠OCA,
∴OC∥AF,
∵CD⊥AF,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:連結(jié)BC,如圖,
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∵$\widehat{BC}=\widehat{CF}$=$\widehat{AF}$,
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠DAC=30°,
在Rt△ADC中,CD=4,
∴AC=2CD=8,
在Rt△ACB中,BC2+AC2=AB2,
即82+($\frac{1}{2}$AB)2=AB2,
∴AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$,
∴⊙O的半徑為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.閱讀下列材料:“為什么$\sqrt{2}$不是有理數(shù)”.
假設(shè)$\sqrt{2}$是有理數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)m,n,使得$\sqrt{2}$=$\frac{n}{m}$,于是有2m2=n2
∵2m2是偶數(shù),∴n2也是偶數(shù),∴n是偶數(shù).
設(shè)n=2t(t是正整數(shù)),則n2=4t2,即4t2=2m2,
∴2t2=m2
∴m也是偶數(shù)
∴m,n都是偶數(shù),不互質(zhì),與假設(shè)矛盾.
∴假設(shè)錯誤,
∴$\sqrt{2}$不是有理數(shù)
有類似的方法,請證明$\sqrt{3}$不是有理數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.設(shè)$\sqrt{3}$的小數(shù)部分為a,$\frac{2}{\sqrt{3}}$的倒數(shù)為b,求a+b2的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.如圖,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,則PC的長為8.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.如圖,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACD,還需補充一個條件,則這個條件可以是AB=AC(答案不唯一).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.將12900用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為1.29×104

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.如圖,在⊙O中,AC與BD是圓的直徑,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分別為E、F
(1)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形?請判斷并說明理由;
(2)求證:BE=CF.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2016-2017學(xué)年江蘇省八年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

如圖,已知P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點,若=2∶5,則=__________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.如圖是一直徑為2m的桶水管道的橫截面圖,其水面寬為1.6m,則這條管道中此時水的最大深度為0.4m.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案