Question

如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．

（1）若PA=PE，求證：△ABP≌△PCE；
（2）如圖2，若AB=2，BC=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，連結(jié)CG交PE于F
①求證：四邊形APCG是平行四邊形；
②求BP長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形有一對直角對應(yīng)相等，另外找一個角和一對對應(yīng)邊相等利用AAS判定兩三角形全等即可；
（2）①根據(jù)△PEC翻折得△PEG，利用翻折的性質(zhì)得到PE⊥CG于F，利用同旁內(nèi)角互補得到PA∥CG，然后又得到AG∥BC，從而利用兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形判定四邊形APCG是平行四邊形；
②過點G作GN⊥PC于點N，得四邊形ABNG是矩形得到△ABP≌△GNC，從而得到CN=BP，設(shè)BP=x，則CN=BP=x，PC=PG=BC-BP=4-x，PN=PC-CN=4-2x，在Rt△GPN中，由勾股定理得列出有關(guān)x的方程求解．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°
又∵PE⊥PA
∴∠APE=90°
∴∠APB+∠CPE=90°
∴∠BAP=∠CPE，
又∵PA=PE
在△ABP與△PCE中，

∠B=∠C=90° ∠BAP=∠CPE PA=PE

∴△ABP≌△PCE；

（2）①∵△PEC翻折得△PEG，
∴PE⊥CG于F，
又∵PE⊥PA
PA∥CG，
又∵∠BAG=90°，∠B=90°
∴AG∥BC
∴四邊形APCG是平行四邊形；
②過點G作GN⊥PC于點N，得四邊形ABNG是矩形
∴AB=GN=2，∠B=∠GNC=90°
∵四邊形APCG為平行四邊形，
∴AP=CG．
∴△ABP≌△GNC，
∴CN=BP．
設(shè)BP=x，則CN=BP=x
PC=PG=BC-BP=4-x，PN=PC-CN=4-2x．
在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN²+GN²=PG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
解得：x=

2

3

或x=2，
∴BP=

2

3

或2；

點評：本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折疊、函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)最值等知識點，所涉及考點眾多，有一定的難度．