Question

【題目】已知：為的直徑，弦于點，連接，點是上一點，連接并延長交于點，交于點．

（1）如圖1，連接．求證：；

（2）如圖2，連接，過點作交于點，交延長線于點求證：．

（3）如圖3，在（2）的條件下，若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由垂徑定理和圓周角定理進行等量轉換即可得證；

（2）由圓周角定理和全等三角形的性質進行等量轉換，即可得解；

（3）利用圓周角定理和三角函數進行等量轉換，即可得解.

（1）連接，如圖所示

∵，

∴，

∴，

∵弧弧，

∴，

∵，

∴．

（2）連接，，如圖所示

∵OG為半徑，

∴，

∴ ，

∵弧弧，

∴，

∴，

∴，

∵OA=OG=OC=OB

∴∠AOG=∠BOC

∴

∴，

∴，

即．

（3）∵弧CD=2弧CB

∴

∴，

∵，CF=FD

∴，

∴FD⊥MF

∴，

∴

設，

∵

∴，，

∴，

，，

∵∠CAB=∠DAB

∴

作，設，，，

∵，

∴，，，

連接，，，，

∴，

，

，，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴．