Question

（2012•貴港）如圖，在?ABCD中，延長CD到E，使DE=CD，連接BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的長．

Answer 1

分析：（1）連接AE、BD、根據(jù)AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案；
（2）在BC上截取BN=AB=1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN=1=AN，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，根據(jù)△AGB∽△CGE，得出

BG

GE

=

AB

CE

=

AG

CG

，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據(jù)平行四邊形BDEA求出BF，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接BD、AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AF=DF．

（2）解：在BC上截取BN=AB=1，連接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等邊三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AC=

22-12

=

3

，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△AGB∽△CGE，
∴

BG

GE

=

AB

CE

=

AG

CG

，
∴

1

1+1

=

AG

3 -AG

，
AG=

3

3

，
在△BGA中，由勾股定理得：BG=

12+( 3 3 )2

=

2 3

3

，
∵

BG

GE

=

1

2

，
∴GE=

4 3

3

，
BE=

4 3

3

+

2 3

3

=2

3

，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴BF=

1

2

BE=

3

，
∴FG=

3

-

2 3

3

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．