Question

如圖，點(diǎn)A是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），將線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)，連接AC、BC、CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．
（I）線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系是

 

，位置關(guān)系是

 

．
（II）當(dāng)t=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
（III）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上？求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（IV）設(shè)△BCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（I）根據(jù)“線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C”推知AB與AC的關(guān)系；
（II）由Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，得CF=

1

2

OA=

1

2

t，由此求出CF的值；
（III）由Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，可以求得AF的長(zhǎng)度；若點(diǎn)C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據(jù)相似比例式列方程求出t的值；
（IV）有三種情況，需要分類討論：當(dāng)0＜t≤8時(shí)，如題圖1所示；當(dāng)t＞8時(shí)，如答圖1所示；t=8時(shí)．

解答：解：（I）∵如圖，將線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C，
∵AB=2AC，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；

（II）由題意，易證Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，
∴

CF

OA

=

AC

AB

．
∵AB=2AM=2AC，
∴CF=

1

2

OA=

1

2

t．
當(dāng)t=2時(shí)，CF=1；

（III）由（1）知，Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，
∴

AF

OB

=

AC

AB

，
∴AF=

1

2

OB=2，∴FD=AF=2，．
∵點(diǎn)C落在線段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴

CF

OB

=

DF

OD

，即

1 2 t

4

=

2

t+4

，
整理 得t²+4t-16=0
解得 t=2

5

-2或t=-2

5

-2（不合題意，舍去）
∴當(dāng)t=2

5

-2時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上．
此時(shí)，CF=

1

2

t=

5

-1，
OF=t+2=2

5

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2

5

，-1+

5

）；

（IV）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，如題圖1所示：
S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4；
②當(dāng)t＞8時(shí)，如答圖1所示：CE=CF-EF=

1

2

t-4

S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（

1

2

t-4）=

1

4

t²-

3

2

t-4；
③如答圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，CF=OB=4，可得t=OA=8，此時(shí)S=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)平面內(nèi)幾何圖形的多種性質(zhì)，是一道難度較大的中考?jí)狠S題．涉及到的知識(shí)點(diǎn)包括相似三角形、全等三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何變換（旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱）等，非常全面；分類討論的思想貫穿第（2）問．本題涉及考點(diǎn)眾多，內(nèi)涵豐富，對(duì)考生的數(shù)學(xué)綜合能力要求較高．