Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且CF=AC．
（1）說明：四邊形DCFE是平行四邊形；
（2）請(qǐng)說明∠A與∠F相等．

Answer 1

證明：（1）∵如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，且DE=AC．
又∵點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且CF=AC，
∴DE∥CF，DE=CF，
∴四邊形DCFE是平行四邊形；

（2）∵由（1）知，四邊形DCFE是平行四邊形．
∴CD∥FE，
∴∠ACD=∠F．
又∵DE是△ABC的中位線，
∴CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠A=∠F．
分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理推知DEAC，則由已知條件“CF=AC”推知EDCF，故四邊形DCFE是平行四邊形；
（2）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證得AD=CD，則等邊對(duì)等角：∠A=∠ACD．由（1）中平行線的性質(zhì)知道∠ACD=∠F．所以由等量代換可以得到∠A與∠F相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理．本題利用了“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得（1）中的結(jié)論．