Question

（1）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE=∠CEF；
（2）交換（1）中的條件與結論，得到（1）的一個逆命題：
已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，E是BC上一點，AE與CD相交于點F，若∠CFE=∠CEF，則∠CAE=∠BAE．你認為這個問題是真命題還是假命題？若是真命題，請給出證明；若是假命題，請舉出反例．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的角平分線、中線和高,命題與定理

專題：

分析：（1）先根據在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高可得出∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，故∠ACD=∠B，再根據AE是角平分線可知∠CAE=∠BAE，進而可得出結論；
（2）由（1）可知∠ACD=∠B，再根據∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF得出∠CAE=∠BAE，進而得出結論．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B；
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=∠BAE；
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，
∴∠CFE=∠CEF；

（2）真命題．
證明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B；
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF，
∴∠CAE=∠BAE，即AE是角平分線．

點評：本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．