Question

17．（1）如圖（1），△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫作正三角形的漸開線，其中$\widehat{CD}$，$\widehat{DE}$，$\widehat{EF}$，…的圓心依次按A，B，C循環(huán)，如果AB=1，則曲線CDEF的長是多少？
（2）如圖（2），若A₂B₂C₂D₂為正方形，邊長為1，則漸開一周的曲線A₂E₂F₂C₂H₂的長為多少？
（3）以此類推，若把一個邊長為1的正五邊形按上述過程作漸開線，漸開一周后曲線的長度是多少？
（4）想一想，若把一個邊長為1的正n邊形沿上述步驟依次作漸開線，則漸開一周后的曲線長是多少？

Answer 1

分析 （1）曲線CDEF的長由弧CD，弧DE，弧EF組成，它們所對的圓心角都為120°，而半徑分別為1，2，3，根據(jù)弧長公式分別計算三個弧長，求它們的和即可；
（2）類比（1）的方法，曲線A₂E₂F₂C₂H₂的長由4條弧組成，它們所對的圓心角都為270°，而半徑分別為1，2，3，4，根據(jù)弧長公式分別計算，四個弧長，求它們的和即可；
（3）把一個邊長為1的正五邊形按上述過程作漸開線，漸開一周后曲線的長度是由5條弧組成，它們所對的圓心角都為180°-$\frac{（5-2）×180}{5}$=72°，而半徑分別為1，2，3，4，5，根據(jù)弧長公式分別計算，四個弧長，求它們的和即可；
（4）由計算得出規(guī)律，解決問題即可．

解答 解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠CAD=∠DBE=∠ECF=120°，
又∵AB=1，
∴AC=1，BD=2，CE=3，
∴CD弧的長度=$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
DE弧的長度=$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π；
EF弧的長度=$\frac{120π×3}{180}$=2π；
所以曲線CDEF的長為$\frac{2}{3}$π+$\frac{4}{3}$π+2π=4π．
（2）若A₂B₂C₂D₂為正方形，邊長為1，則漸開一周的曲線A₂E₂F₂C₂H₂的長為$\frac{90π×1}{180}$+$\frac{90π×2}{180}$+$\frac{90π×3}{180}$+$\frac{90π×4}{180}$=5π；
（3）若把一個邊長為1的正五邊形按上述過程作漸開線，漸開一周后曲線的長度是$\frac{72π×1}{180}$+$\frac{72π×2}{180}$+$\frac{72π×3}{180}$+$\frac{72π×4}{180}$+$\frac{72π×5}{180}$=6π；
（4）把一個邊長為1的正n邊形沿上述步驟依次作漸開線，則漸開一周后的曲線長是（n+1）π．

點評 本題主要考查了圓的綜合題及弧長的計算，解題的關(guān)鍵是明白n邊形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開線中第n重的關(guān)系求值．