Question

如圖，AB為⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）當AC=3，OC=1，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連接OB，由BD=CD，利用等邊對等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到OB垂直于BD，即可得證；
（2）延長AO至圓上E點，連接BE，由勾股定理得AO長度，易得△AOC∽△ABE，通過線段比例得出BC的長度．

解答：（1）證明：連接BD，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO∠DBC=90°，即OB⊥BD，
則BD為圓O的切線；

（2）解：延長AO至圓上E點，連接BE，
∵AC=3，OC=1，
∴AO=2

2

，
∵∠ABE=∠AOD=90°，
∴△AOC∽△ABE
∴

AC

AO

=

AE

AB

即：

3

2 2

=

4 2

3+BC

∴BC=

7

3

．

點評：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．