Question

（1）在同一個(gè)圓中，兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積有什么關(guān)系？請(qǐng)利用左圖試著證明．
（2）利用（1）的結(jié)論，解決右圖問題：AB為⊙O的弦，P是AB上一點(diǎn)，AB=10，PA=4，OP=5，求⊙O的半徑R．

Answer 1

解：（1）圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．
已知，如圖，⊙O的兩弦AB、CD相交于E，
求證：AE•BE=CE•DE．
證明如下：
連AC，BD，如圖，
∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE=CE：BE，
∴AE•BE=CE•DE；
所以兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．

（2）過P作直徑CD，如圖，
∵AB=10，PA=4，OP=5，
∴PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，
由（1）中結(jié)論得，PA•PB=PC•PD，
∴4×6=（R-5）×（R+5），
解得R=7（R=-7舍去）．
所以⊙O的半徑R=7．
分析：（1）連AC，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根據(jù)三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性質(zhì)得AE：DE=CE：BE，變形有AE•BE=CE•DE；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根據(jù)相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相交弦定理：圓的兩條弦相交，那么這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．也考查了圓周角定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．