Question

3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射線OC以每秒2個(gè)單位長度的速度向右平行移動(dòng)，當(dāng)射線OC經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平行移動(dòng)x秒后，射線OC掃過Rt△ABO的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，當(dāng)x=3秒時(shí)，射線OC平行移動(dòng)到O′C′，與OA相交于G，并已知某函數(shù)，y=ax²+bx+c（a≠0，其中a、b、c是常數(shù)）經(jīng)過G，O，B三點(diǎn)，求出a、b、c，并寫出這個(gè)函數(shù)的解析式；
（3）現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P在（2）中的函數(shù)圖象上，試問點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在三角形POB的面積S=8的情況？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）判斷出△ABO是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得AO⊥C′O′，從而判斷出△OO′G是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，再把點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，利用三角形的面積公式求出h，再分點(diǎn)P在x軸上方和下方兩種情況，利用拋物線解析式求解即可．

解答 解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°-45°）+45°=90°，
∴AO⊥CO，
∵C′O′是CO平移得到，
∴AO⊥C′O′，
∴△OO′G是等腰直角三角形，
∵射線OC的速度是每秒2個(gè)單位長度，
∴OO′=2x，
∴其以O(shè)O′為底邊的高為x，
∴y=$\frac{1}{2}$×（2x）•x=x²；

（2）當(dāng)x=3秒時(shí)，OO′=2×3=6，
∵$\frac{1}{2}$×6=3，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，3），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
則$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{8}{5}$，c=0；拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x；

（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，
則S_△POB=$\frac{1}{2}$×8h=8，
解得h=2，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=2，
整理得，x²-8x+10=0，
解得x₁=4-$\sqrt{6}$，x₂=4+$\sqrt{6}$，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{6}$，2）或（4+$\sqrt{6}$，2）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=-2，
整理得，x²-8x-10=0，
解得x₁=4-$\sqrt{26}$，x₂=4+$\sqrt{26}$，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{26}$，-2）或（4+$\sqrt{26}$，-2），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{6}$，2）或（4+$\sqrt{6}$，2）或（4-$\sqrt{26}$，-2）或（4+$\sqrt{26}$，-2）時(shí)，△POB的面積S=8．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答（3）題這類有關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，要注意分情況討論，以防漏解或錯(cuò)解．