Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，當(dāng)PB=

 

時(shí)，四邊形PECF的面積最大，最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專(zhuān)題：

分析：利用銳角三角函數(shù)關(guān)系表示出PE，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用矩形面積求法以及二次函數(shù)最值求法得出即可．

解答：解：設(shè)PB=xcm，
∵∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴BC=AB×cos30°=6

3

（cm），PE=

1

2

xcm，BE=

3

2

xcm，
則EC=（6

3

-

3

2

x）cm，
故四邊形FCEP的面積為：
PE×EC=

1

2

x×（6

3

-

3

2

x）
=-

3

4

x²+3

3

x
=-

3

4

（x²-12x）
=-

3

4

（x-6）²+9

3

故當(dāng)x=6時(shí)，四邊形PECF的面積最大，最大值為9

3

．
故答案為：6，9

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的面積公式以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出矩形面積與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．