Question

如圖，正方形ABCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形BPQR，連接DQ，延長CP交DQ于E．若CE=5

2

，ED=4，則AB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)AD與PQ相交于點(diǎn)O，連接BO，過點(diǎn)C作CM⊥DQ角QD的延長線于M，利用“HL”證明Rt△AOB和Rt△POB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得∠ABO=∠PBO，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AO=PO，然后求出OD=OQ，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ODQ=∠OQD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和定理求出∠PBO=∠ODQ，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)用∠POB表示出∠PCB，然后求出∠EDB=∠PCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CED=∠CBD=45°，判斷出△CEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CM=EM=5，再求出DM，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出CD的長，根據(jù)正方形的四條邊都相等即可得解．

解答：解：如圖，設(shè)AD與PQ相交于點(diǎn)O，連接BO，過點(diǎn)C作CM⊥DQ角QD的延長線于M，
在Rt△AOB和Rt△POB中，

BO=BO AB=PB

，
∴Rt△AOB≌Rt△POB（HL），
∴∠ABO=∠PBO，AO=PO，
∴AD-AO=PQ-PO，
即OD=OQ，
∴∠ODQ=∠OQD，
∵∠PBO=

1

2

（360°-90°×2-∠AOP）=

1

2

（180°-∠AOP），
∠ODQ=

1

2

（180°-∠DOQ），
∠AOP=∠DOQ（對(duì)頂角相等），
∴∠PBO=∠ODQ，
∵BC=BP，
∴∠PCB=

1

2

（180°-∠PBC）=

1

2

（180°-90°+2∠POB）=45°+∠PBO，
∠EDB=∠ODQ+∠ADB=∠PBO+45°，
∴∠EDB=∠PCB，
∴∠CED=∠CBD=45°，
∴△CEM是等腰直角三角形，
∵CE=5

2

，
∴CM=EM=5，
∴DM=EM-ED=5-4=1，
在Rt△CDM中，CD=

DM2+CM2

=

12+52

=

26

，
∴AB=CD=

26

．
故答案為：

26

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造成全等三角形和等腰直角三角形，熟記各性質(zhì)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．