Question

【問題情境】
已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最��？最小值是多少？
【數(shù)學(xué)模型】
設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2（x+

a

x

）（x＞0）．
【探索研究】
（1）我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的圖象和性質(zhì)．
①填寫下表，畫出函數(shù)的圖象；

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（�。┲禃r，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．

【解決問題】
（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

Answer 1

分析：（1）①把x的值代入解析式計算即可；②根據(jù)圖象所反映的特點寫出即可；③根據(jù)完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，進(jìn)行配方即可得到最小值；
（2）根據(jù)完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，進(jìn)行配方得到y(tǒng)=2[(

x

-

a x

)2+2

a

]，即可求出答案．

解答：解：（1）①故答案為：

17

4

，

10

3

，

5

2

，2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．
函數(shù)y=x+

1

x

的圖象如圖：
②答：函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)是：當(dāng)0＜x＜1時，y 隨x的增大而減小，當(dāng)x＞1時，y 隨x的增大而增大；當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．
③y=x+

1

x

=

x2+1

x

=

x2-2x+1

x

+2=

(x-1)2

x

+2，
∵x＞0，所以

(x-1)2

x

≥0，
所以當(dāng)x=1時，

(x-1)2

x

的最小值為0，
∴函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

（2）答：矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長為

a

時，它的周長最小，最小值是4

a

．

點評：本題主要考查對完全平方公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用學(xué)過的性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．