Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O為圓心，OB為半徑的圓與AC相切于點F，交BC于點D，交AB于點G，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）DE與⊙O有什么位置關系，請寫出你的結論并證明；
（2）若⊙O的半徑長為3，AF=4，求CE的長．

Answer 1

解：（1）DE與⊙O相切；
理由如下：
連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．

（2）連接OD，OF；
∵DE，AF是⊙O的切線，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四邊形ODEF為矩形，
∴EF=OD=3；
在Rt△OFA中，AO²=OF²+AF²，
∴，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC-AF-EF=8-4-3=1，
∴CE=1．
分析：由已知可證得OD⊥DE，OD為圓的半徑，所以DE與⊙O相切；連接OD，OF，由已知可得四邊形ODEF為矩形，從而得到EF的長，再利用勾股定理求得AO的長，從而可求得AC的長，此時CE就不難求得了．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．