Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙P過原點O和y軸上的點A，點C（1，3）也在⊙P上，A、B兩點的坐標分別為（0，2）和（-5，0），點P（2，a）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）探究以下兩個論斷的正確性：
①直線OP∥BC；
②BC與⊙P相切．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先過點P作PQ⊥y軸于點Q，由垂徑定理知：點Q為AO中點，則可求得點P的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的解析式；
（2）①首先作PN⊥x軸于點N，設BC交y軸于點D．設直線BC的解析式為y=kx+b，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，則可證得∠DBO=∠PON，則可得OP∥BC．
②首先連接CP并延長交x軸于點E，作CM⊥x軸于點M，則有CM∥PN，可得△CME∽△PNE，繼而證得△BDO∽△BEC，可得∠BCE=∠BOD=90°，即可得BC與⊙P相切．

解答：解：（1）過點P作PQ⊥y軸于點Q，由垂徑定理知：點Q為AO中點．
∵A（0，2），
∴OA=2，
即有OQ=1，
∴P（2，1）．
把x=2，y=1代入y=

k

x

(x＞0)中，
得k=2．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

(x＞0)．

（2）①作PN⊥x軸于點N，設BC交y軸于點D．設直線BC的解析式為y=kx+b，
據(jù)題意可得

k+b=3 -5k+b=0

，
解得

k= 1 2 b= 5 2

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x+

5

2

．
令x=0，有y=

5

2

．
∴D(0，

5

2

)，
即OD=

5

2

．
∵OB=5，ON=2，PN=1，
∴tan∠DBO=

OD

OB

=

1

2

=

PN

ON

=tan∠PON，
∴∠DBO=∠PON，
∴OP∥BC．

②連接CP并延長交x軸于點E，作CM⊥x軸于點M，則有CM∥PN，
∴△CME∽△PNE，
∴

PN

CM

=

EN

EM

=

EN

EN+MN

．
又∵C（1，3），
∴CM=2，OM=1，
∴MN=1．
即

EN

EN+1

=

1

3

，得EN=

1

2

，
∴BE=5+2+

1

2

=

15

2

而由勾股定理可求得，BC=3

5

，BD=

5

2

5

，
∴

BD

BE

=

BO

BC

=

5

3

，
∵∠CBE是公共角，
∴△BDO∽△BEC，
∴∠BCE=∠BOD=90°，
∴BC與⊙P相切．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的性質、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質、垂徑定理、切線的判定以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．