Question

8．若4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n滿足（　　）

• A． n≥1972
• B． n≤1972
• C． n≥1973
• D． n≤1970

Answer 1

分析 通過提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，從而推出n的值，進(jìn)而通過反正的方式進(jìn)行排除選項(xiàng)得解．

解答 解：因?yàn)?²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54），
所以當(dāng)2n-54=2×1945，即n=1972時(shí)，上式為完全平方數(shù)．
當(dāng)n＞1972時(shí)，有（2^n-27）²＜1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54＜1+2•2^n-27+2^2（n-27）=（2^n-27+1）²，
所以上式不可能為完全平方數(shù)．
故選B．

點(diǎn)評 此題主要考查了完全平方數(shù)，正確利用完全平方數(shù)的性質(zhì)求出n的取值范圍是解題關(guān)鍵．