Question

5．已知：矩形ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，∠BAC=30°，過(guò)O作OE⊥BC，垂足為E．
（1）OE與BC的數(shù)量關(guān)系是DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
（2）點(diǎn)P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）連結(jié)OP，將線段OP繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段OF，連結(jié)BF，請(qǐng)猜想BF、BP、OE三者之間的關(guān)系，并加以證明．
（3）若P在直線BC上運(yùn)動(dòng)按照（2）中的作法，條件不變，請(qǐng)直接寫出BF、OE、BP三者之間的關(guān)系，不必證明．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=90°，∠BAC=30°得到∠ACB=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到OB=OC，則可判斷△OCB為等邊三角形，由于OE⊥BC，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠POF=60°，OP=OF，易得∠COP=∠BOF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△OCP≌△OBF，則CP=BF，利用CP=BC-BPODE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC可得到BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE；
（3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，然后分點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)或點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴OB=OC，
∴△OCB為等邊三角形，
∵OE⊥BC，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
故答案為：DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；

（2）如圖2，BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．理由如下：
∵線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OF，
∴∠POF=60°，OP=OF，
而∠COB=60°，
∴∠COB-∠POB=∠POF-∠POB，
∴∠COP=∠BOF，
在△OCP和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOF}\\{OP=OF}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△OBF（SAS），
∴CP=BF，
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE，
∴BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE；

（3）如圖3，
點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，
與（2）一樣可證明△OCP≌△OBF，
∴CP=BF，
而CP=BP-BC，
∴BP-BF=BC，
∴BP-BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE，；
如圖4，點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)與（2）一樣可證明△OCP≌△OBF，
∴CP=BF，
∵CP=BP+BC，
∴BF-BP=BC，
∴BF-BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．