Question

13．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（-3，0）、C（1，0），與y軸交于點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接PA，以PA為邊作矩形APMN使得$\frac{AP}{PM}$=4，當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應(yīng)的P點的坐標．
（4）如圖2，若點Q（0，t）為y軸上任意一點，⊙I為△ABO的內(nèi)切圓，若⊙I上存在兩個點M，N，使∠MQN=60°，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)點A、B的坐標求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點P的坐標；
（3）①如圖2，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，利用相似三角形性質(zhì)即可求出點P坐標，②如圖3中，點N在對稱軸上時，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點Q，利用相似三角形性質(zhì)求出PF，即可判斷再在這種情形不合題意．③如圖3-1中，同法可求．
（4）如圖4中，過點Q作⊙I的切線QM，點Q′作⊙I的切線Q′N，先求出內(nèi)切圓的半徑，再求出當∠MDQ=60°時，DQ的長，再根據(jù)對稱性即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-3，0）、C（1，0）代入y=ax²+bx+3
得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3．
（2）如圖1中，∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周長越大，
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
消掉y得，x²+3x+m-3=0，
當△=3²-4×1×（m-3）=0，
即m=$\frac{21}{4}$時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，
此時x=-$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴點P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時，△PDE的周長最大；
（3）①如圖2，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，
在矩形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∴△APF∽△MPQ，
∴$\frac{PF}{PQ}$=$\frac{PA}{PM}$=4，
設(shè)點P的橫坐標為n（n＜0），則PQ=-1-n，
即PF=-4-4n，
∴點P的坐標為（n，-4-4n），
∵點P在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴-n²-2n+3=-4-4n，
整理得，n²-2n-7=0，
解得n=1-2$\sqrt{2}$或1+2$\sqrt{2}$（舍棄），
所以，點P的坐標為（1-2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）；
②如圖3中，點N在對稱軸上時，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點Q，
∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，
∴△APF∽△NAQ，
∴$\frac{AP}{AN}$=$\frac{PF}{AQ}$=4，
∵AQ=2，
∴PF=8＞4（不合題意），
③如圖3-1中，同法可求P（-3+2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）
綜上所述點P的坐標為（1-2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）或（-3+2$\sqrt{2}$，-8+8$\sqrt{2}$）．
（4）如圖4中，∵OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴AB=3$\sqrt{2}$，
設(shè)⊙I分別切OA、OB于F、D．連接ID、IF．
則四邊形IDOF是正方形，ID=$\frac{OA+OB-AB}{2}$=3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
過點Q作⊙I的切線QM，點Q′作⊙I的切線Q′N，
當∠MDQ=60°時，DQ=ID•tan60°=3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
∴OQ=3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
根據(jù)對稱性當∠NQ′D=60°時，OQ′=（3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$-3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$），
∴若⊙I上存在兩個點M，N，使∠MQN=60°時，3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$-3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$≤t≤3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，拋物線上點的坐標特征，（2）確定出△PDE是等腰直角三角形，從而判斷出點P為平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時的位置是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)用點P的橫坐標表示出縱坐標或用縱坐標求出橫坐標是解題的關(guān)鍵．（4）解題關(guān)鍵是求出∠DQM=60°時，DQ的長．屬于中考壓軸題．