Question

如圖，A、B分別是x軸正半軸上和y軸正半軸上的點(diǎn)，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）若點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），求k的值；
（2）若A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別A（2，0），B（0，2）
①求k的值；
②證明點(diǎn)D也在該反比例函數(shù)的圖象上；
（3）若C、D兩點(diǎn)都在函數(shù)y=

2

x

的圖象上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式中k的值即可；
（2）①首先求出直線AB的解析式進(jìn)而得出直線BC的解析式利用勾股定理得出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出k的值；
②由題意可得出，直線AD的解析式為：y=x-2，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出即可；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得出C，D兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)特點(diǎn)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k=2×3=6；

（2）①∵A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別A（2，0），B（0，2），
∴BO=2，AO=2，
∴AB=2

2

，
設(shè)直線AB的解析式為：y=sx+b，
則

2s+b=0 b=2

，
解得：

s=-1 b=2

，
∴直線AB的解析式為：y=-x+2，
∵直線BC⊥AB，
∴直線BC的解析式為：y=x+2，
設(shè)C﹙a，b﹚則：

b=a+2 a2+(b-2)2=(2 2 )2

，
解得：

a=2 b=4

，
∴k=ab=8，
反比例函數(shù)為：y=

8

x

；
②由題意可得出：直線AD的解析式為：y=x-2，
設(shè)D﹙x，y﹚則：

y=x-2 (x-2)2+y2=(2 2 )2

，
解得：

x=4 y=2

，
∴D﹙4，2﹚，
∴D點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

8

x

的圖象上；

（3）過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCE和△ABO中

∠1=∠3 ∠CEB=∠AOB BC=AB

，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴AO=BE，BO=EC，
同理可得出：△DAF≌△ABO，
∴AO=DF=BE，AF=BO=EC，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，a+b），則D（a+b，b），
∵C、D兩點(diǎn)都在函數(shù)y=

2

x

的圖象上，
∴a（a+b）=（a+b）b，
∴a=b，
∴C﹙a，2a﹚D﹙2a，a﹚，
∴2a²=2，
解得：a=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C﹙1，2﹚．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式等知識，得出C，D點(diǎn)橫縱坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．